Differens eller derivator

Har det någon praktisk betydelse om vi använder oss av differenser eller differentialer?

Låt oss ta ett exempel:

Ett blad som väger 100 mg och faller till marken. Nedbrytningen sätter fart och efter ett år väger bladet bara 50 mg. Resten har respirerats bort av nedbrytande organismer och blivit koldioxid.

Om tidsenheten är ett år, så beskrivs nedbrytningsförloppet enligt ekvationen:

[Y(t)-Y(t+1)]/Y(t) = kD

eller

DY/Dt= kD Y

I vårt exempel blir kD = (100-50)/100 = 0,5. Parameter kD motsvarar alltså den procentuella viktsminskningen under varje tidsintervall. I vårt exempel är nedbrytningen 50% under det första året. 

Om vi använder oss av differentialekvationen

dY/dt= k Y

så är tidsstegen oändlig många i varje tidsintervall. 

Den integrerade funktionen beskriver vikten som funktion av tiden vid varje tillfälle (Hur integrerar man):

Y(t)=Y(0)ekt

Om det skall vara 50 mg av ursprungligen 100 mg kvar efter 1 år (t=1) så gäller:

50=100ek

ek=0,5

k=ln(0,5) = -0,69....

Värden för kD och k skiljer sig åt beroende på om vi anvädner differenser eller differentialer. Med differensekavtionen beräknas den genomsnittliga hastigheten som är beroende av tidssteget. Differentialekvationen däremot anger den momentana hastigheten - oberoende av tidsstegen. Ju mindre tidsstegen blir desto mindre blir skillnaderna mellan kD och k.

Allmänt vi omvandling av diskreta tidskonstanter till kontinuerliga gäller enligt exemplet ovan:

ek=(1-kD)         eller          k=ln(1-kD)

Här kommer beviset

Tillbaka


Copyright © 1999 [Växten & Marken]. All rights reserved.
Information in this document is subject to change without notice.
Other products and companies referred to herein are trademarks or registered trademarks of their respective companies or mark holders.